Tâche. Versant analytique de Q1. Caractériser le domaine naturel \[ \Theta^\star \;=\; \bigl\{\theta : Z_\theta = \textstyle\int_{\mathbb{R}^d} e^{-\theta^\top\varphi(x)}\,dx < \infty\bigr\} \] (les \(\theta\) pour lesquels \(p_\theta\) est normalisable), puis prouver que ce domaine est stable par le flot de convolution \(\theta \mapsto \tilde\theta\) — autrement dit que la convolution gaussienne préserve l'intégrabilité au sein de la famille. On caractérise aussi le bord du domaine, on traite les contre-exemples (croissance \(x^4\), polynômes \(\ge 3\), bornés), et les limites \(\sigma \to 0,\infty\).
Décomposé depuis
delib-20260416-102e(synthèse). Références internes :problem.md,q1a-algebraic-closure.md(condition \((\dagger)\), borne \(D\le 2\)),q2-quadratic-stability.md(cône SPD, forme fermée),q1-exotique-nonpoly.md(exclusion non-polynomiale). Ancrage Lean :lean/EFS/EFS/Q2.lean, théorèmestildeM_posDef,tildeM_lt_inv_s.Notation. On note \[ \mathcal{L}(f) := \tfrac{1}{2}\|\nabla f\|^2 - \tfrac{1}{2}\Delta f, \qquad \mathcal{A} := \mathrm{Span}\{\varphi_1, \ldots, \varphi_r, 1\} \subset C^\infty(\mathbb{R}^d). \] La condition de stabilité \((\dagger)\) s'écrit : \(G_{ij} := \langle\nabla\varphi_i,\nabla\varphi_j\rangle \in \mathcal{A}\) et \(H_i := \Delta\varphi_i \in \mathcal{A}\) (uniformément en \(\theta\)).
L'intégrabilité comporte deux étages qu'il faut soigneusement séparer (c'est la distinction qui débloque toute la suite, §2.1).
Résultat principal (Théorème 2.4). Pour toute
famille quadratique satisfaisant \((\dagger)\) — c'est-à-dire toute
famille stable polynomiale, par la borne \(D\le 2\) de q1a Thm 5.1 — le
domaine \(\Theta^\star\) est le cône
SPD ouvert \(\{\theta : \sum_k \theta_k A_k
\succ 0\}\), et le flot \(\theta
\mapsto
\tilde\theta\) envoie \(\Theta^\star\) dans \(\Theta^\star\) (sur un sous-cône strict).
L'intégrabilité-famille est donc préservée. Le cœur SPD de cet énoncé
(\(\tilde M \succ 0\)) est vérifié
mécaniquement en Lean 4 (tildeM_posDef).
Portée honnête. Comme toute famille polynomiale
stable est quadratique (q1a Thm 5.1) et que chaque sous-famille
quadratique stable hérite de l'invariance SPD (§2.4–2.5), Q1b est close
pour la totalité de la classification connue des familles stables. Le
seul résidu ouvert de Q1b est exactement le résidu ouvert de Q1
lui-même : les hypothétiques familles non-polynomiales exotiques
(conjecturalement vides, cf. q1-exotique). Pour
celles-ci on fournit un critère de coercivité (§2.6), conditionnel par
nature. Q1b n'introduit aucune ouverture nouvelle au-delà de celle de
Q1.
Pour \(\varphi : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^r\) mesurable, on pose \[ \Theta^\star \;:=\; \bigl\{\theta \in \mathbb{R}^r \,:\, Z_\theta := \textstyle\int_{\mathbb{R}^d} e^{-\theta^\top \varphi(x)}\,dx \,<\, \infty\bigr\}. \]
Proposition 1.1 (structure standard ; Barndorff-Nielsen 1978, Brown 1986). \(\Theta^\star\) est convexe, et \(\theta \mapsto \log Z_\theta\) est convexe sur \(\Theta^\star\) (strictement si \(\{\varphi_1, \ldots, \varphi_r, 1\}\) sont linéairement indépendantes comme fonctions de \(x\)). En particulier \(\log Z_\theta\) est \(C^\infty\) sur \(\mathrm{int}(\Theta^\star)\).
Démonstration. Pour \(\theta_0, \theta_1 \in \Theta^\star\) et \(\lambda \in [0,1]\), Hölder donne \[ Z_{(1-\lambda)\theta_0 + \lambda\theta_1} = \int e^{-(1-\lambda)\theta_0^\top\varphi}\, e^{-\lambda\theta_1^\top\varphi}\,dx \;\le\; Z_{\theta_0}^{1-\lambda} Z_{\theta_1}^{\lambda} < \infty, \] d'où la convexité de \(\Theta^\star\) et de \(\log Z_\theta\). La régularité \(C^\infty\) sur \(\mathrm{int}(\Theta^\star)\) suit de la dérivation sous l'intégrale (les \(\partial^\alpha Z_\theta\) convergent localement uniformément). \(\square\)
Critère élémentaire : \(e^{-\theta^\top\varphi(x)}\) est intégrable sur \(\mathbb{R}^d\) ssi \(\theta^\top \varphi(x) \to +\infty\) assez vite quand \(\|x\| \to \infty\).
Proposition 1.2 (intégrabilité sous croissance polynomiale). Soit \(\varphi : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^r\) continue ; supposons qu'il existe \(k > 0\), \(c > 0\) et \(R>0\) tels que \(\theta^\top \varphi(x) \ge c\, \|x\|^k\) pour \(\|x\| \ge R\) et tout \(\theta\) dans un compact \(K\). Alors \(K \subset \Theta^\star\) et \(\sup_{\theta\in K} Z_\theta < \infty\).
Démonstration. Pour \(\theta \in K\), \[ Z_\theta \le \int_{\|x\| \le R} 1\,dx + \int_{\|x\| \ge R} e^{-c\|x\|^k}\,dx \le V_d R^d + \omega_{d-1} \int_R^\infty r^{d-1} e^{-c r^k}\,dr < \infty, \] la dernière intégrale étant finie pour tout \(k > 0\) (Euler–Gamma), avec borne uniforme sur \(K\). \(\square\)
(i) Quadratique. \(\varphi(x) = (\mathrm{vec}(xx^\top), x)\), \(\theta = (A/2, b)\), donc \(\theta^\top\varphi(x) = \tfrac12 x^\top A x + b^\top x\) et \[ \Theta^\star = \{(A, b) : A \succ 0\}, \qquad Z_\theta = (2\pi)^{d/2}\,(\det A)^{-1/2}\,\exp\!\bigl(\tfrac12 b^\top A^{-1} b\bigr). \]
(ii) Quartique \(d=1\). \(\varphi(x) = x^4\), \(\Theta^\star = \{\theta > 0\}\). Par \(u = \theta^{1/4} x\) : \(Z_\theta = \int e^{-\theta x^4}\,dx = \theta^{-1/4} \cdot 2\,\Gamma(5/4)\).
(iii) Logarithmique borné. \(\varphi(x) = \log(1+x^2)\) sur \(\mathbb{R}\) : \(e^{-\theta\varphi(x)} \sim |x|^{-2\theta}\), intégrable ssi \(\theta > 1/2\), soit \(\Theta^\star = (1/2, \infty)\), queues en loi de puissance.
Si \(\theta \in \Theta^\star\) mais qu'aucun \(\tilde\theta \in \Theta^\star\) ne représente \(\tilde p_\theta\), la famille n'est pas stable. La stabilité exige donc que le flot \(\theta \mapsto \tilde\theta(\sigma)\) préserve \(\Theta^\star\). C'est l'objet du §2.
Proposition 2.1. Pour tout \(\theta \in \Theta^\star\) et tout \(\sigma > 0\), \(p_\theta \ast \gamma_\sigma\) est une densité de probabilité sur \(\mathbb{R}^d\).
Démonstration. \(p_\theta \in L^1(\mathbb{R}^d)\) (densité, \(\|p_\theta\|_1 = 1\)) et \(\gamma_\sigma \in L^1\) avec \(\|\gamma_\sigma\|_1 = 1\). Par l'inégalité de Young, \(\|p_\theta \ast \gamma_\sigma\|_1 \le \|p_\theta\|_1\,\|\gamma_\sigma\|_1 = 1\) ; positivité et masse \(1\) par Fubini (\(\int p_\theta\ast\gamma_\sigma = \int p_\theta \int \gamma_\sigma = 1\)). \(\square\)
Le point qui débloque. L'intégrabilité en tant que mesure est donc gratuite et ne distingue rien. La question de Q1b n'est pas « la convolée est-elle intégrable ? » (toujours oui) mais « la convolée reste-t-elle dans la famille exponentielle, c'est-à-dire existe-t-il \(\tilde\theta \in \Theta^\star\) ? ». C'est un énoncé sur le domaine \(\Theta^\star\), pas sur \(L^1\).
On fixe la statistique quadratique générale de problem.md (5) : \[
\varphi(x) = \bigl((x^\top A_k x)_{1\le k\le r_1},\; Bx\bigr), \qquad
A_k \in \mathrm{Sym}_d(\mathbb{R}),\; B \in \mathbb{R}^{r_2\times d}.
\] Écrivons \(\theta =
(\theta^{\mathrm{q}}, \theta^{\ell}) \in
\mathbb{R}^{r_1}\times\mathbb{R}^{r_2}\). Alors \[
\theta^\top\varphi(x) = x^\top \underbrace{\Bigl(\textstyle\sum_k
\theta^{\mathrm{q}}_k A_k\Bigr)}_{=:~Q(\theta)} x \;+\;
\underbrace{(B^\top\theta^\ell)}_{=:~b(\theta)}{}^\top x.
\]
Proposition 2.2 (domaine = cône SPD ouvert). Avec les notations ci-dessus, \[ \Theta^\star = \bigl\{\theta : Q(\theta) = \textstyle\sum_k \theta^{\mathrm{q}}_k A_k \succ 0\bigr\}. \] C'est un cône convexe ouvert de \(\mathbb{R}^r\) (préimage du cône SPD ouvert \(\mathrm{Sym}_d^{++}\) par l'application linéaire \(\theta \mapsto Q(\theta)\), translaté en \(\theta^\ell\)).
Démonstration. \(\int_{\mathbb{R}^d} e^{-x^\top Q x - b^\top x}\,dx
< \infty\) ssi la forme quadratique \(x \mapsto x^\top Q x\) est coercive, i.e.
\(Q \succ 0\) : si \(Q\) a une valeur propre \(\lambda \le 0\) de vecteur propre \(v\), l'intégrale le long de \(\mathbb{R}v\) diverge (\(e^{-\lambda t^2 - \ldots}\) non intégrable)
; si \(Q \succ 0\), la complétion de
carré (cf. q2 Lemme
2.1) donne une gaussienne intégrable, \(\forall b\). Le terme linéaire ne change
pas l'intégrabilité (translation + facteur \(e^{\frac12 b^\top Q^{-1} b}\) fini).
L'ouverture et la convexité : \(\mathrm{Sym}_d^{++}\) est un cône convexe
ouvert, \(\theta\mapsto Q(\theta)\)
linéaire, donc sa préimage l'est aussi. \(\square\)
Remarque 2.3 (minimalité et coordonnées). Sous l'hypothèse de minimalité (M) de
q1a§1 — \(\{A_k\}\) linéairement indépendants dans \(\mathrm{Sym}_d\) — l'application \(\theta^{\mathrm{q}} \mapsto Q(\theta)\) est injective, donc \(\Theta^\star\) s'identifie à un cône ouvert de \(\mathrm{Span}\{A_k\} \subseteq \mathrm{Sym}_d\). Pour la statistique complète \(\varphi = (\mathrm{vec}(xx^\top), x)\), \(\mathrm{Span}\{A_k\} = \mathrm{Sym}_d\) tout entier et \(\Theta^\star \cong \{M \succ 0\}\times\mathbb{R}^d\), le domaine deq2. On note \(M(\theta) := 2\,Q(\theta)\) pour coïncider avec la précision au sens de Q2 (\(\theta^\top\varphi = \tfrac12 x^\top M x + b^\top x\)), et \(M \succ 0 \iff Q \succ 0\).
Pour la statistique quadratique, q2 (Q2.⋆) établit par
Fourier + Woodbury la reparamétrisation explicite, en
coordonnées de précision : \[
\tilde M = M(I + \sigma^2 M)^{-1}, \qquad \tilde b = (I + \sigma^2
M)^{-1} b,
\qquad M = M(\theta),\; b = b(\theta).
\tag{Q2.⋆}
\] Cette formule est obtenue directement (calcul de \(\widehat{p_\theta\ast\gamma_\sigma}\)),
sans présupposer aucun flot ni aucune stabilité, point essentiel pour la
non-circularité (§2.7).
Théorème 2.4 (préservation de l'intégrabilité-famille, cas quadratique). Soit \(\varphi\) quadratique satisfaisant \((\dagger)\) et \(\sigma > 0\). Alors le flot \(\theta \mapsto \tilde\theta\) induit par la convolution \(\ast\gamma_\sigma\) envoie \(\Theta^\star\) dans \(\Theta^\star\) : \[ \theta \in \Theta^\star \;\Longrightarrow\; \tilde\theta \in \Theta^\star. \] Autrement dit, \(p_\theta \ast \gamma_\sigma\) est encore une densité de la même famille exponentielle, normalisable, de paramètre \(\tilde\theta\) dans le domaine naturel.
Démonstration. Deux ingrédients, l'un géométrique (le cône), l'autre algébrique (la fermeture).
(a) \(\tilde M \succ 0\) —
invariance du cône SPD. Par Proposition 2.2, \(\theta \in \Theta^\star \iff M := M(\theta) \succ
0\). Comme \(\sigma^2 > 0\),
\(I + \sigma^2 M \succ I \succ 0\),
donc \((I+\sigma^2 M)^{-1} \succ 0\) ;
ce facteur commute avec \(M\)
(fractions rationnelles d'une même matrice), et le produit de deux
matrices SPD qui commutent est SPD (diagonalisation simultanée). Donc
\[
\tilde M = M(I + \sigma^2 M)^{-1} \succ 0.
\] C'est exactement la Proposition 5.2 de q2, et son
cœur est formellement vérifié en Lean 4 : le théorème
tildeM_posDef (lean/EFS/EFS/Q2.lean) prouve
(p.tildeM s).PosDef à partir de p.hM_posDef et
0 < s, via l'identité de Woodbury commutative
(M⁻¹ + s•I)⁻¹ = M(I+s•M)⁻¹ et la stabilité du cône sous
addition/inversion (PosDef.inv, PosDef.add).
L'invariance SPD est donc un fait mécaniquement contrôlé.
(b) \(\tilde M \in
\mathrm{Span}\{A_k\}\) et \(\tilde b
\in \mathrm{Range}(B^\top)\) — fermeture algébrique.
Pour que \(\tilde\theta\) existe
dans la même famille (à statistique \(\varphi\) fixée), il faut que \(\tilde M\) soit représentable par les \(A_k\) et \(\tilde
b\) par \(B\). C'est précisément
ce que garantit \((\dagger)\) : la
condition \(G_{ij}, H_i \in
\mathcal{A}\) rend \(\mathrm{Span}\{A_k\}\) stable sous le flot
de Cole–Hopf (cf. q1a §4, EDO \(\dot M = -M^2\) restant dans \(\mathrm{Span}\{A_k\}\)), donc \(\tilde M = M(I+\sigma^2 M)^{-1}\), qui est
le flot de cette EDO au temps \(\sigma^2\) (Riccati, q2 §6), reste dans
\(\mathrm{Span}\{A_k\}\). De même \(\tilde b = (I+\sigma^2 M)^{-1} b \in
\mathrm{Range}(B^\top)\) car la condition de fermeture sur la
partie linéaire (\(b^\top M x\)
représentable) force \(M\cdot\mathrm{Range}(B^\top) \subseteq
\mathrm{Range}(B^\top)\), stable par \((I+\sigma^2 M)^{-1}\).
Conclusion. Par (b), \(\tilde\theta := (\tilde\theta^{\mathrm{q}}, \tilde\theta^\ell)\) avec \(Q(\tilde\theta^{\mathrm{q}}) = \tfrac12\tilde M\), \(B^\top\tilde\theta^\ell = \tilde b\) existe (et est unique sous (M)). Par (a), \(Q(\tilde\theta) = \tfrac12\tilde M \succ 0\), donc \(\tilde\theta \in \Theta^\star\) (Proposition 2.2). \(\square\)
Pour la statistique complète \(\varphi = (\mathrm{vec}(xx^\top), x)\), l'ingrédient (b) est automatique (\(\mathrm{Span}\{A_k\} = \mathrm{Sym}_d\), \(\mathrm{Range}(B^\top) = \mathbb{R}^d\)) : tout \(\tilde M\) et tout \(\tilde b\) sont représentables, et le Théorème 2.4 se réduit à l'ingrédient (a), la pure invariance du cône SPD, Lean-vérifiée. C'est le cas « facile à clore proprement » annoncé dans le briefing.
Corollaire 2.5 (Q1b clos pour tout polynomial
stable). Soit \(\varphi\)
polynomiale satisfaisant \((\dagger)\)
(donc stable). Alors \(\deg\varphi_i \le
2\) pour tout \(i\) (q1a Thm
5.1), \(\Theta^\star\) est un cône SPD
ouvert (Prop. 2.2 appliquée à la partie quadratique), et le flot \(\theta\mapsto\tilde\theta\) préserve \(\Theta^\star\) (Thm 2.4). En particulier
l'intégrabilité-famille est préservée pour toutes les sous-familles de
la table de q1a
§5.1.
Vérification des sous-familles non triviales.
| Sous-famille | \(\mathrm{Span}\{A_k\}\) | \(\Theta^\star\) | \(\tilde M\) reste dans \(\mathrm{Span}\) ? |
|---|---|---|---|
| Gaussienne générale | \(\mathrm{Sym}_d\) | \(\{M\succ 0\}\times\mathbb{R}^d\) | trivial (tout \(\mathrm{Sym}_d\)) |
| Gaussienne centrée | \(\mathrm{Sym}_d\) | \(\{M\succ 0\}\) | trivial |
| Isotropique | \(\mathbb{R}\cdot I\) | \(\{s>0\}\times\mathbb{R}^d\) | \(\tilde M = \frac{s}{1+\sigma^2 s} I \in \mathbb{R}\cdot I\) ✓ |
| Isotropique centrée | \(\mathbb{R}\cdot I\) | \(\{s>0\}\) | idem ✓ |
| Pur linéaire | \(\{0\}\) | \(\varnothing\) (cf. §2.6) | vacuité |
Pour l'isotropique : \(M = sI\),
\(\tilde M = sI(I+\sigma^2 sI)^{-1} =
\frac{s}{1+\sigma^2 s}I\), encore un multiple scalaire de \(I\), et \(\frac{s}{1+\sigma^2 s} > 0\) pour \(s>0\) — forward-invariant. La
sous-famille pur-linéaire (\(\mathrm{Span}\{A_k\}=\{0\}\), pas de partie
quadratique) a \(Q \equiv 0\), donc
\(\Theta^\star = \varnothing\) sur
\(\mathbb{R}^d\) (non normalisable) :
invariance vacuément vraie, et famille exclue de l'intégrabilité
(cohérent avec q1a
Remarque §5.1).
Conséquence. Comme aucune famille polynomiale stable ne sort de cette classification (q1a Thm 5.1), Q1b est close pour toute famille polynomiale stable : pas de gap résiduel polynomial.
Reste le cas d'une \(\varphi\) non
polynomiale satisfaisant \((\dagger)\)
— conjecturalement inexistante (q1-exotique :
harmoniques, exponentielles, trigonométriques, exp-polynomiales, \(d=1\), radial lisse toutes exclues).
Si une telle famille existait, le flot \(\theta\mapsto\tilde\theta\) ne se réduirait
plus à la Riccati matricielle et l'invariance de \(\Theta^\star\) demanderait un argument
propre. Voici le critère.
Par q1a §4
(preuve \(\Leftarrow\)), \((\dagger)\) produit le champ de vecteurs
polynomial \(\dot\theta_{t,k} =
A_k(\theta_t)\) sur \(\mathbb{R}^r\). L'invariance de \(\Theta^\star\) équivaut à : la trajectoire
issue de \(\theta_0 \in \Theta^\star\)
ne touche pas \(\partial\Theta^\star\)
avant \(t = \sigma^2/2\).
Critère 2.6 (coercivité de \(\log Z\)). Le flot \((4.2)\) préserve \(\Theta^\star\) si \(\log Z_\theta \to +\infty\) lorsque \(\theta \to \partial\Theta^\star\) et que le champ \(A_k(\theta)\) pointe vers l'intérieur près du bord (condition de Nagumo / sous-tangentialité).
Esquisse. Par convexité (Prop. 1.1), \(\log Z_\theta\) est une fonction de
Lyapunov candidate. Le long du flot, \(\frac{d}{dt}\log Z_{\theta_t} =
B(\theta_t)\) (q1a eq. 4.3) reste fini
tant que \(\theta_t \in
\mathrm{int}(\Theta^\star)\). Si \(\log
Z\) diverge à \(\partial\Theta^\star\) (perte
d'intégrabilité) et que \(B(\theta_t)\)
borne la croissance, la trajectoire ne peut atteindre le bord en temps
fini : barrière de coercivité. La condition de sous-tangentialité de
Nagumo (\(A(\theta)\) dans le cône
tangent à \(\Theta^\star\) en \(\partial\Theta^\star\)) est alors
nécessaire et suffisante pour l'invariance positive
(théorème de Nagumo–Brezis). \(\square\)
Honnêteté. Le Critère 2.6 est conditionnel : il s'applique à une classe hypothétique de familles que
q1-exotiqueconjecture vide. Il ne ferme donc rien de plus que ce que Q1 ferme déjà ; il enregistre la forme de l'obstruction au cas où une exotique surgirait. Dans le cas quadratique, \(\Theta^\star = \{M\succ 0\}\) est un cône, \(\log Z = -\tfrac12\log\det M + \ldots\) diverge à \(\det M \to 0^+\), et le champ Riccati \(\dot M = -M^2\) est trivialement sous-tangent (il pousse \(M\) vers \(0\), donc vers le bord, mais jamais en temps fini car \(M_t = M_0(I+2tM_0)^{-1} \succ 0\) \(\forall t<\infty\)) : le Critère 2.6 est automatiquement satisfait, en accord avec le Théorème 2.4.
La preuve du Théorème 2.4 n'emprunte pas la construction du flot par
EDO de q1a
(laquelle, en cas général, renvoie l'intégrabilité à Q1b — ce
serait circulaire). Elle utilise la forme fermée (Q2.⋆) obtenue
directement par Fourier dans q2 §3–4, indépendante
de tout chemin. L'invariance SPD est ensuite un fait géométrique pur
(Lean-vérifié), et la fermeture algébrique (b) est l'hypothèse \((\dagger)\) prise comme primitive. La
boucle potentielle « stabilité ⇒ flot ⇒ intégrabilité ⇒ stabilité » est
donc brisée dans le cas quadratique par la voie Fourier. Elle ne
ressurgirait que pour une exotique non-polynomiale — documenté dans circular-q1b-flow-invariance.md.
On dégage trois régimes de \(\varphi\) qui brisent la stabilité. Le critère unifiant est \((\dagger)\) : \(\mathcal{L}(\theta^\top\varphi) \in \mathcal{A}\) uniformément en \(\theta\).
Proposition 3.1 (exclusion des \(\varphi\) sous-linéaires). Soit \(\varphi : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}\) de classe \(C^2\) avec \(\varphi(x) = o(\|x\|)\) quand \(\|x\| \to \infty\) et \(\|\nabla\varphi\| \to 0\) (régularité uniforme, p.ex. \(\varphi\) concave). Alors la famille n'est pas stable, sauf dégénérescence triviale.
Argument. \((\dagger)\) exige \(\|\nabla\varphi\|^2 = a\,\varphi + b\). Le membre de gauche \(\to 0\) à l'infini ; donc \(a = 0\) (sinon \(\varphi\) bornée ou divergente, contradiction avec \(\|\nabla\varphi\|^2\to 0\) couplé à \(\varphi\to\infty\)) et \(b = 0\). Par \(\|\nabla\varphi\|^2 = 0\), \(\varphi\) constante. \(\square\)
Exemple. \(\varphi(x) = \log(1+x^2)\) : \((\varphi')^2 = 4x^2/(1+x^2)^2 \to 0\), \(\varphi'' \to 0\), mais \(\varphi \to \infty\). Aucune \(a\varphi+b\) ne représente \(\mathcal{L}(\theta\varphi)\) uniformément. \(\square\)
Proposition 3.2 (exclusion des polynômes de degré \(\ge 3\)). Soit \(\varphi\) à composantes polynomiales de degré \(\le K\) avec \(K \ge 3\), \(\dim\mathcal{A} = r+1\). Alors \((\dagger)\) échoue. (Démontré §5, comptage \(\deg\|\nabla f\|^2 = 2K-2 > K\).)
Proposition 3.3 (exclusion des \(\varphi\) bornés). Pour \(\varphi\) continue bornée non constante sur \(\mathbb{R}^d\) non borné, \(e^{-\theta\varphi(x)} \ge e^{-\theta\sup\varphi} > 0\), donc \(Z_\theta = \infty\) : \(\Theta^\star = \varnothing\).
Oscillant (\(\varphi = \cos x\)) : borné, donc exclu. Sur le tore \(\mathbb{T}^d\) la chaleur préserve la famille, mais le cadre de Q1 est \(\mathbb{R}^d\).
On prouve que \(\{p_\theta \propto e^{-\theta x^4}\}_{\theta > 0}\) est non stable.
\(\Theta^\star = (0, \infty)\), \(Z_\theta = 2\Gamma(5/4)\theta^{-1/4}\) (§1.3.ii).
\(\varphi'(x) = 4x^3\), \(\varphi''(x) = 12 x^2\), donc pour \(f = \theta x^4\) : \[ \mathcal{L}(\theta x^4) = \tfrac{1}{2}(4\theta x^3)^2 - \tfrac{1}{2}\cdot 12\theta x^2 = 8\,\theta^2\, x^6 - 6\,\theta\, x^2. \tag{$\star$} \]
Lemme 4.1. \(1, x^4, x^6\) sont linéairement indépendantes sur \(\mathbb{R}\) (un polynôme nul a tous ses coefficients nuls). Corollaire. \(x^6 \notin \mathrm{Span}\{1, x^4\}\).
\(\mathcal{A} = \mathrm{Span}\{1, x^4\}\). Pour \(\mathcal{L}(\theta x^4) \in \mathcal{A}\), il faudrait \(8\theta^2 x^6 - 6\theta x^2 = \alpha + \beta x^4\) ; identification du coefficient de \(x^6\) : \(8\theta^2 = 0\), soit \(\theta = 0 \notin \Theta^\star\). Échec \(\forall\theta>0\).
Théorème 4.2. \(\{p_\theta = Z_\theta^{-1} e^{-\theta x^4}\}_{\theta > 0}\) n'est pas stable par convolution gaussienne : pour tout \(\sigma>0\), \(\theta>0\), aucun \(\tilde\theta\) tel que \(p_\theta \ast \gamma_\sigma \propto e^{-\tilde\theta x^4}\).
Démonstration (via Q3). Si stable, \(\exists\, t\mapsto\theta_t\) avec \(\dot\theta_t x^4 + \tfrac{d}{dt}\log Z_{\theta_t} = -8\theta_t^2 x^6 + 6\theta_t x^2\). LHS \(\in\mathrm{Span}\{1,x^4\}\), RHS contient \(x^6\) ; par Lemme 4.1, il faut \(8\theta_t^2 = 0\), i.e. \(\theta_t = 0 \notin\Theta^\star\). Contradiction. \(\square\)
Lien Q1b. Le contre-exemple est l'autre face du Théorème 2.4. Là où le quadratique a \(\mathcal{L}(\theta^\top\varphi)\in\mathcal{A}\) (fermeture, flot interne à \(\Theta^\star\)), le quartique éjecte hors de \(\mathcal{A}\) un terme \(x^6\) qui n'a aucun représentant : il n'y a pas de \(\tilde\theta\), donc pas de domaine où atterrir. La non-fermeture algébrique est la non-préservation du domaine.
Lemme 5.1. Pour \(f \in \mathbb{R}[x_1,\ldots,x_d]\) de degré total \(K\) et partie de tête \(f_K \ne 0\), \(\|\nabla f\|^2\) est de degré exactement \(2K-2\), de tête \(\|\nabla f_K\|^2 \ne 0\) (car \(f_K\) non constant). (Décomposition \(f = f_K + f_{<K}\), termes croisés de degré \(< 2K-2\).)
Théorème 5.2. Soit \(\varphi\) polynomiale, \(K := \max_i\deg\varphi_i \ge 3\), sous (M). Alors \((\dagger)\) échoue, et la famille n'est pas stable.
Démonstration. Pour \(\theta\) générique, \(\theta^\top\varphi\) a degré \(K\) ; par Lemme 5.1, \(\mathcal{L}(\theta^\top\varphi)\) a degré \(2K-2\), de tête \(\tfrac12\|\nabla[\theta^\top\varphi]_K\|^2\ne 0\). Or \(\mathcal{A}\) ne contient que des degrés \(\le K\), et \(2K-2 > K\) dès \(K\ge 3\). Donc \(\mathcal{L}(\theta^\top\varphi) \notin\mathcal{A}\). \(\square\)
Corollaire 5.3. Parmi les \(\varphi\) polynomiaux, les seules familles
stables \(\forall\sigma>0\) ont
\(\deg\varphi_i\le 2\). Le quadratique
complet \(\varphi=(\mathrm{vec}(xx^\top),x)\) est
maximal en dimension \(d^2+d\).
Conjugué à q1-exotique, cela réduit
Q1 à Q2 modulo non-polynomial pathologique.
Même dans le cas stable quadratique, l'étude des limites de \(\sigma\) révèle une obstruction géométrique.
Pour \(\varphi=(\mathrm{vec}(xx^\top),x)\), \(\theta=(A/2,b)\), \(A\succ 0\) : \(\tilde A = A(I+\sigma^2 A)^{-1}\), \(\tilde b = (I+\sigma^2 A)^{-1}b\). En covariance \(\Sigma := A^{-1}\) : \(\tilde\Sigma = \Sigma + \sigma^2 I\).
\(\tilde A \to A\), \(\tilde b \to b\) : identité. Le flot part de \(\theta_0=\theta\).
\(\tilde A = (\Sigma+\sigma^2 I)^{-1} \to 0\). Le flot reste strictement dans \(\Theta^\star=\{A\succ 0\}\) pour tout \(\sigma<\infty\) (cohérent avec Thm 2.4), mais atteint \(\partial\Theta^\star = \{A\succeq 0, \det A=0\}\) en temps infini : la variance diverge, la densité aplatit, dégénérescence seulement asymptotique.
Théorème 6.1 (la chaleur lisse mais ne dé-lisse pas). Fixons \(\sigma>0\). L'image \[ \mathrm{Im}(\theta\mapsto\tilde\theta) = \{(\tilde A,\tilde b) : \tilde A^{-1}-\sigma^2 I \succ 0\} = \{\tilde A \prec \sigma^{-2} I\} \;\subsetneq\; \Theta^\star. \]
Démonstration. Inverser : \(\Sigma = \tilde\Sigma - \sigma^2 I\) doit être SPD, i.e. \(\tilde\Sigma \succ \sigma^2 I\), i.e. \(\tilde A \prec \sigma^{-2} I\). Inclusion stricte : \(\tilde A = 2\sigma^{-2}I \in\Theta^\star\) mais \(\notin\mathrm{Im}\). \(\square\)
C'est la Proposition 5.4 de q2, ancrée en
Lean par tildeM_lt_inv_s (s•M̃ - I jamais SPD :
le sous-cône strict \(\tilde
M\prec\sigma^{-2}I\)). Donc : \(\Theta^\star\) est invariant vers l'avant
(Thm 2.4) mais le flot le contracte sur un sous-cône strict, le lissage
est irréversible. La chaleur agit en semi-groupe, pas en groupe.
Implication Q1 / Q3. La dérivation de l'EDP H-J suppose le chemin \(\theta_t\) dans \(\Theta^\star\) pour \(t>0\), automatique par régularisation (Thm 2.4). Mais le flot H-J inverse (remonter le temps) n'est pas bien défini pour toute donnée terminale : il impose la compatibilité \(\tilde\Sigma \succ \sigma^2 I\) (donnée dans l'image de \(e^{t\Delta/2}\)), classique pour la chaleur rétrograde.
tildeM_posDef).tildeM_lt_inv_s.| Strate | Statut Q1b |
|---|---|
| Quadratique complet \((\mathrm{vec}(xx^\top),x)\) | clos — invariance SPD pure, Lean-vérifié |
| Sous-familles quadratiques (isotropique, centrée, …) | clos — table §2.5 |
| Tout polynomial stable | clos — réduction au quadratique (q1a Thm 5.1) |
| Non-polynomial exotique | conditionnel — critère §2.6 ; conjecturalement vide |
Frontière honnête. Q1b ne sur-revendique pas : seul
le résidu exotique non-polynomial de Q1b reste ouvert, et c'est
exactement le résidu ouvert de Q1 (q1-exotique). Q1b
n'ajoute aucune ouverture nouvelle. La convolution gaussienne préserve
l'intégrabilité-famille pour toute famille stable connue.
circular-q1b-flow-invariance.md.lean/EFS/EFS/Q2.lean
(tildeM_posDef, tildeM_lt_inv_s,
woodbury_commutative).q1a-algebraic-closure.md,
q2-quadratic-stability.md,
q1-exotique-nonpoly.md.