Circularité — Stabilité ⇒ fermeture \((\dagger)\) (Q1a)

Note annexée à q1a-algebraic-closure.md. Issue du point de vigilance de Wheeler (synthèse delib-20260416-102e, §3 et §5).

Symptôme

L'argument "classique" pour établir \((\dagger)\) — présenté en Remarque 2 de problem.md — procède comme suit :

1. Supposer la stabilité Q1 : il existe \(\tilde\theta\) tel que \(\tilde p_\theta \propto e^{-\tilde\theta^\top\varphi}\).
2. Construire un chemin \(t \mapsto \theta_t\) avec \(\theta_0 = \theta\) et \(p_{\theta_t} = p_\theta \ast \gamma_{\sqrt{2t}}\).
3. Dériver l'équation (6) / \((\ast)\) en \(t\), puis évaluer en \(t = 0\) pour obtenir (4.5) du document Q1a.
4. En conclure que \(\|(\nabla\varphi)\theta\|^2 - \theta^\top\Delta\varphi \in \mathcal{A}\) pour tout \(\theta\), d'où \((\dagger)\).

L'étape 2 suppose déjà que \(\theta_t\) existe et vit dans \(\Theta\) — c'est-à-dire elle suppose la stabilité non seulement pour le \(\theta\) de départ mais localement autour de \(\theta\) (et à travers une famille paramétrée par \(\sigma\)). Or c'est précisément ce qu'on cherche à établir en conséquence de \((\dagger)\).

Diagnostic Wheeler. La Remarque 2 dérive la fermeture algébrique à partir de la stabilité, qui la suppose. C'est une tautologie masquée, non une démonstration.

Analyse

Le contenu algébrique de \((\dagger)\) est une propriété pointue en \(\theta\) : pour chaque \(\theta\), \(\mathcal{L}(\theta^\top\varphi) \in \mathcal{A}\) comme fonction de \(x\). Cette propriété, si elle tient pour tout \(\theta \in \Theta\) ouvert, force l'identité polynomiale en \(\theta\) à coefficients dans \(\mathcal{A}\) — et c'est de là que sortent les scalaires \(\alpha^{(ij)}_k, \ldots\) de \((\dagger)\).

La stabilité Q1, quant à elle, est une propriété globale en \(t\) : pour tout \(\sigma\), il existe \(\tilde\theta\). Les deux ne sont a priori pas équivalentes en l'absence d'hypothèses supplémentaires.

Ce que prouve effectivement Q1a. On montre deux choses distinctes :

• \((\Leftarrow)\) \((\dagger) \Rightarrow\) stabilité : on construit \(\theta_t\) par EDO polynomiale (Cauchy–Lipschitz sur le champ \(A_k(\theta)\)), indépendamment de la stabilité cherchée. C'est cette direction qui casse la circularité : \((\dagger)\) est prise comme hypothèse primitive, la stabilité en découle.

• \((\Rightarrow)\) stabilité \(\Rightarrow (\dagger)\) : ici la circularité potentielle ressurgit. On doit supposer la stabilité régulière (= stabilité Q1

  • chemin \(\theta_t\) de classe \(C^1\) + \(\Theta\) ouvert + (M)), puis l'identité \((\ast)\) et la formule de Taylor en \(\theta\) donnent \((\dagger)\).

Contournement effectif dans Q1a

L'énoncé \((\dagger)\) est indépendant de tout chemin : c'est une identité polynomiale en \(\theta\) à coefficients fonction de \(x\). On peut donc :

1. Prendre \((\dagger)\) comme hypothèse primitive (pas comme conséquence).
2. Prouver \((\Leftarrow)\) sans jamais présupposer l'existence d'un \(\tilde\theta\) : on le construit par Cauchy–Lipschitz.
3. Pour \((\Rightarrow)\), séparer les hypothèses : on admet stabilité régulière (Q1 + régularité du chemin, à traiter en Q1c) et on dérive \((\dagger)\). Sous stabilité Q1 seule, \((\Rightarrow)\) n'est pas automatique — il requiert Q1c.

Conséquence pour le livrable

• Le théorème central Prop. 4.1 est présenté comme équivalence conditionnelle à la stabilité régulière (§4.2, "Remarque" en fin de preuve).
• Le Thm 5.1 (\(D \le 2\)) repose uniquement sur \((\dagger)\), donc vaut inconditionnellement pour toute famille polynomiale stable Q1 (ponctuelle suffit à donner \((\Rightarrow)\) si on passe par l'implication directe via l'équation \((\ast)\) évaluée à \(t = 0\), laquelle demande seulement que \(\dot\theta_0\) existe — donc stabilité régulière minimale).
• La conjecture Wheeler (§4 de sa réponse) — stabilité \(\Leftrightarrow\) enveloppe affine des polynômes de degré \(\le 2\) modulo \(\mathrm{Aff}\) + \(O(d)\) — est compatible avec notre Thm 5.4 mais dépasse Q1a : elle est renvoyée à Q1-exotique.

Statut

Circularité neutralisée dans l'exposition actuelle :

• \((\Leftarrow)\) prouvé sans circularité ;
• \((\Rightarrow)\) prouvé sous l'hypothèse explicite stabilité régulière, avec renvoi à Q1c pour justifier celle-ci à partir de la stabilité Q1 pure.

Cette note sera complétée lorsque Q1c (task-20260416-cb62) aura établi que, sous (M) et intégrabilité, stabilité Q1 \(\Leftrightarrow\) stabilité régulière — auquel cas la circularité disparaît entièrement.