Q1c + Q3 — Stabilité régulière ⇔ équation de Hamilton–Jacobi (6)

Tâche task-20260416-cb62, molécule parente delib-20260416-102e (synthèse : §D2, §5.4). Dépendance amont : Q1a (Proposition $(\dagger)$, closure algébrique) — task-20260416-324c.

Références internes :

docs/problem.md — énoncé d'Etienne (équation (6) page 2).
docs/lore/delib-20260416-102e/responses/feynman.md — audit des trois sauts cachés.
docs/lore/delib-20260416-102e/responses/von-neumann.md — identité Cole–Hopf et $(\ast)$.
docs/wiki/cole-hopf.md — transformation $u = e^{-f}$.
docs/wiki/tychonoff-uniqueness.md — unicité de la chaleur sous sous-gaussianité.
docs/wiki/de-bruijn-identity.md — relevé ponctuel de l'entropie.
docs/circular-q3-glissement.md — clarification du glissement d'hypothèses.

0. Résumé

L'énoncé de la Question 3 du PDF d'Etienne — « stabilité $\Leftrightarrow$ existence d'un chemin $t \mapsto \theta_t$ dérivable vérifiant (6) » — est vrai, mais à la condition de resserrer la notion de stabilité. Stricto sensu, la Question 1 fournit seulement une existence ponctuelle : pour chaque $\sigma$, on trouve $\tilde\theta(\sigma)$. Rien ne garantit a priori que (i) $\sigma \mapsto \tilde\theta(\sigma)$ soit de classe $C^1$, (ii) la famille $\{\varphi_i\}$ soit linéairement indépendante (minimalité), (iii) le chemin $p_{\theta_t}$ ait une sous-gaussianité uniforme (unicité Tychonoff pour la chaleur).

Feynman (responses/feynman.md, §Q3) a identifié ces trois hypothèses comme le glissement d'hypothèses caché dans la preuve d'Etienne. On les regroupe dans la notion de stabilité régulière (Définition 2.3). L'équivalence avec (6) est alors stricte et se prouve en deux temps :

$(\Rightarrow)$ Simple dérivation, utilisant que $\sigma^2 = 2t$ et que la convolée avec $\gamma_{\sqrt{2t}}$ résout l'équation de la chaleur.
$(\Leftarrow)$ Cole–Hopf $u_t = e^{-f_t + \int c}$ ramène (6) à l'équation de la chaleur, puis unicité (Tychonoff ou Widder) force $p_{\theta_t} = p_\theta * \gamma_{\sqrt{2t}}$.

1. Notations

On reprend les notations de docs/problem.md.

$\varphi = (\varphi_1, \ldots, \varphi_r) : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^r$, mesurable, $C^2$ (on le demande explicitement à partir de la §2).
$p_\theta(x) = Z_\theta^{-1}\, e^{-\theta^\top \varphi(x)}$, densité définie sur $\Theta \subseteq \mathbb{R}^r$, $Z_\theta := \int_{\mathbb{R}^d} e^{-\theta^\top \varphi(x)}\, dx$.
$\gamma_\sigma$ : noyau gaussien isotrope de variance $\sigma^2$ ; on passe au temps $t := \sigma^2/2$ pour que $\gamma_{\sqrt{2t}}$ soit exactement le noyau de la chaleur à l'instant $t$ (i.e. $\partial_t \gamma_{\sqrt{2t}} = \tfrac12 \Delta \gamma_{\sqrt{2t}}$).
$\nabla\varphi(x) \in \mathbb{R}^{d \times r}$ matrice jacobienne ; $\Delta\varphi(x) \in \mathbb{R}^r$ vecteur des laplaciens.
Opérateur de Cole–Hopf : $\mathcal{L} f := \tfrac12\|\nabla f\|^2 - \tfrac12 \Delta f$ (BGL §1.4, ou wiki/cole-hopf.md).
$\mathcal{A} := \mathrm{Span}\{\varphi_1, \ldots, \varphi_r, 1\} \subseteq C(\mathbb{R}^d)$.

L'équation (6) de docs/problem.md se réécrit, en posant $f_t := \theta_t^\top \varphi$ : \[ \dot\theta_t^\top \varphi(x) \;+\; c(t) \;=\; -\mathcal{L}\,f_t(x) \;=\; -\tfrac12\|\nabla f_t(x)\|^2 \;+\; \tfrac12\,\Delta f_t(x), \qquad c(t) := \tfrac{d}{dt}\log Z_{\theta_t}, \tag{6} \] pour tout $x \in \mathbb{R}^d$ et tout $t > 0$ (identité ponctuelle en $x$, uniforme en $t$).

Convention de signe. L'opérateur $\mathcal{L}$ ci-dessus est le Cole–Hopf canonique : $q = e^{-g} \Rightarrow \partial_t q = \tfrac12 \Delta q \iff \partial_t g = -\mathcal{L} g$ (Lemme 4.2). Le signe moins devant $\mathcal{L} f_t$ dans (6) est donc attendu : il dit précisément que $g_t := f_t + \log Z_{\theta_t} = -\log p_{\theta_t}$ résout l'équation Cole–Hopf conjuguée à la chaleur sur $p_{\theta_t}$.

2. Définitions rigoureuses

2.1. Stabilité ponctuelle (Q1 stricto sensu)

Définition 2.1 (stabilité ponctuelle). On dit que la famille $\{p_\theta\}_{\theta \in \Theta}$ est ponctuellement stable (sous convolution gaussienne) si, pour tout $\theta \in \Theta$ et tout $\sigma > 0$, il existe $\tilde\theta = \tilde\theta(\theta, \sigma) \in \Theta$ tel que \[ (p_\theta * \gamma_\sigma)(x) \;\propto\; e^{-\tilde\theta^\top \varphi(x)}, \qquad \forall x \in \mathbb{R}^d. \tag{4} \]

Remarque 2.2. La Définition 2.1 est la définition littérale de Q1 dans le PDF d'Etienne. Elle est statique : aucun lien n'est exigé entre les $\tilde\theta(\sigma)$ pour différents $\sigma$, et aucune régularité en $\sigma$ n'est imposée.

2.2. Minimalité

Définition 2.2 (famille minimale). La famille exponentielle $\{p_\theta\}$ est dite minimale si $\{\varphi_1, \ldots, \varphi_r, \mathbf{1}\}$ est linéairement indépendante comme famille de fonctions $\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ (c'est-à-dire : toute relation $\sum \alpha_i \varphi_i + \alpha_0 = 0$ $p_\theta$-p.p. force $\alpha_i = 0$ pour tout $i$).

Équivalemment, l'application $\theta \mapsto p_\theta$ est injective (BGL-style : la matrice de Fisher $I(\theta) = \mathrm{Cov}_\theta(\varphi)$ est définie positive).

Remarque. Sans minimalité, la Définition 2.1 ne détermine pas $\tilde\theta$ uniquement : si $\varphi$ contient une redondance linéaire, plusieurs $\tilde\theta$ réalisent la même densité. Cf. Feynman (responses/feynman.md §Q2, remarque sur $\mathrm{vec}(xx^\top)$).

2.3. Stabilité régulière

Définition 2.3 (stabilité régulière). La famille $\{p_\theta\}$ est dite régulièrement stable si elle vérifie les quatre propriétés suivantes.

(H0) Régularité de $\varphi$. Chaque $\varphi_i$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}^d$.

(H1) Stabilité ponctuelle (Définition 2.1).

(H2) Minimalité (Définition 2.2).

(H3) Régularité du chemin. Pour tout $\theta \in \Theta$, la fonction $\sigma \mapsto \tilde\theta(\theta, \sigma)$ est de classe $C^1$ sur $(0, \infty)$, de limite $\tilde\theta(\theta, 0^+) = \theta$, et se prolonge par continuité en $\sigma = 0$. Équivalemment, via le changement de variable $t = \sigma^2/2$, l'application $t \mapsto \theta_t := \tilde\theta(\theta, \sqrt{2t})$ est de classe $C^1$ sur $[0, +\infty)$ avec $\theta_0 = \theta$.

(H4) Sous-gaussianité uniforme sur compacts en $t$. Pour tout $T > 0$, il existe $C = C(T, \theta) > 0$ et $a = a(T, \theta) > 0$ tels que pour tout $t \in [0, T]$ et tout $x \in \mathbb{R}^d$, \[ 0 \;<\; Z_{\theta_t}\, p_{\theta_t}(x) \;\le\; C\, e^{a\, \|x\|^2}. \tag{H4} \]

Remarques.

(H0) est demandée pour que $\mathcal{L} f$ ait un sens ponctuel. On la retient comme hypothèse de base commune aux sens $(\Rightarrow)$ et $(\Leftarrow)$ de l'équivalence.
(H2) est nécessaire : sans minimalité, le membre gauche de (6) ne détermine pas $\dot\theta_t$ (cf. §5.1).
(H3) est nécessaire pour parler de « chemin dérivable » ; la dérivabilité n'est pas gratuite (cf. §5.2).
(H4) est utile seulement pour la réciproque $(\Leftarrow)$ (unicité de la chaleur). On verra en §4 que l'hypothèse de Widder (positivité stricte) la supplée gratuitement pour le cas densitaire qui nous occupe.

Définition 2.4 (équation (6) admissible). On dit que $(\theta, \{\theta_t\}_{t \ge 0}, \{c(t)\}_{t \ge 0})$ est un chemin admissible pour (6) si :

$t \mapsto \theta_t \in \mathbb{R}^r$ est de classe $C^1$ sur $[0, +\infty)$, $\theta_0 = \theta$, et $\theta_t \in \Theta$ pour tout $t$ (en particulier $Z_{\theta_t} < \infty$).
$t \mapsto c(t) \in \mathbb{R}$ est continue sur $[0, +\infty)$, avec $c(t) = \tfrac{d}{dt} \log Z_{\theta_t}$ (automatique si $\theta_t$ est $C^1$ et $\log Z$ est différentiable).
L'identité (6) est satisfaite ponctuellement en $x \in \mathbb{R}^d$ et uniformément en $t > 0$.

3. Implication $(\Rightarrow)$ : stabilité régulière $\Rightarrow$ (6)

Théorème 3.1 ($\Rightarrow$). Si la famille $\{p_\theta\}$ est régulièrement stable (Définition 2.3), alors il existe $\theta_t$ et $c(t)$ tels que $(\theta, \{\theta_t\}, \{c(t)\})$ soit un chemin admissible pour (6) (Définition 2.4).

Preuve.

Étape 1 (construction du chemin). Posons $t := \sigma^2/2$. Par (H1), pour chaque $\sigma > 0$ il existe $\tilde\theta(\sigma) \in \Theta$ tel que $p_\theta * \gamma_\sigma \propto e^{-\tilde\theta(\sigma)^\top \varphi}$. Par (H2), ce $\tilde\theta(\sigma)$ est unique (la minimalité rend la paramétrisation injective). Par (H3), $t \mapsto \theta_t := \tilde\theta(\sqrt{2t})$ est de classe $C^1$ sur $[0, +\infty)$ avec $\theta_0 = \theta$.

Étape 2 (équation de la chaleur sur $q_t$). Posons \[ q_t(x) \;:=\; p_{\theta_t}(x) \;=\; (p_\theta * \gamma_{\sqrt{2t}})(x). \] La fonction $(t, x) \mapsto (p_\theta * \gamma_{\sqrt{2t}})(x)$ est la solution de l'équation de la chaleur à donnée initiale $p_\theta$, i.e. \[ \partial_t q_t(x) \;=\; \tfrac12 \Delta q_t(x), \qquad \forall t > 0,\; \forall x \in \mathbb{R}^d, \tag{3.1} \] au sens classique (solution fondamentale du noyau de Weierstrass, cf. Evans §2.3). La régularité $C^{1,2}$ sur $(0, \infty) \times \mathbb{R}^d$ est assurée par la convolution avec un noyau $C^\infty$ hypoelliptique.

Étape 3 (écriture de $\partial_t q_t$ via $\theta_t$). Par (H0) et (H3), on peut dériver $q_t(x) = Z_{\theta_t}^{-1}\, e^{-\theta_t^\top \varphi(x)}$ sous le signe : \[ \partial_t q_t(x) \;=\; q_t(x) \Bigl(-\dot\theta_t^\top \varphi(x) \;-\; \tfrac{d}{dt}\log Z_{\theta_t}\Bigr) \;=\; q_t(x) \bigl(-\dot\theta_t^\top \varphi(x) - c(t)\bigr), \tag{3.2} \] avec $c(t) := \tfrac{d}{dt}\log Z_{\theta_t}$, bien défini et continu car $\theta_t$ est $C^1$ et $\theta \mapsto \log Z_\theta$ est $C^\infty$ sur l'intérieur de $\Theta$ (BGL §1.6, Brown Fundamentals of Statistical Exponential Families §1).

Étape 4 (écriture de $\tfrac12 \Delta q_t$). Partons de $q_t = Z_{\theta_t}^{-1} e^{-f_t}$ où $f_t(x) := \theta_t^\top \varphi(x)$. On calcule \[ \nabla q_t \;=\; -q_t\, \nabla f_t, \qquad \Delta q_t \;=\; q_t \bigl(\|\nabla f_t\|^2 - \Delta f_t\bigr), \] d'où \[ \tfrac12 \Delta q_t(x) \;=\; q_t(x) \cdot \tfrac12 \bigl(\|\nabla f_t(x)\|^2 - \Delta f_t(x)\bigr) \;=\; q_t(x)\, \mathcal{L} f_t(x). \tag{3.3} \] En expansant $f_t = \theta_t^\top \varphi$, \[ \mathcal{L} f_t(x) \;=\; \tfrac12 \|(\nabla\varphi(x))\, \theta_t\|^2 \;-\; \tfrac12\, \theta_t^\top \Delta\varphi(x). \tag{3.4} \]

Étape 5 (identification). Égalisant (3.1) = (3.2) = (3.3), et divisant par $q_t(x)>0$ : \[ -\dot\theta_t^\top \varphi(x) \;-\; c(t) \;=\; \mathcal{L} f_t(x) \;=\; \tfrac12 \|(\nabla\varphi(x))\, \theta_t\|^2 \;-\; \tfrac12\, \theta_t^\top \Delta\varphi(x). \] En multipliant par $-1$ : \[ \dot\theta_t^\top \varphi(x) \;+\; c(t) \;=\; -\mathcal{L} f_t(x) \;=\; -\tfrac12 \|(\nabla\varphi(x))\, \theta_t\|^2 \;+\; \tfrac12\, \theta_t^\top \Delta\varphi(x), \] soit exactement l'identité (6) de docs/problem.md. Le chemin $(\theta_t, c(t))$ est donc admissible. $\blacksquare$

Remarque 3.2 (lecture Cole–Hopf). Le calcul se résume en : $g_t := -\log q_t = f_t

\log Z_{\theta_t}$ satisfait $\partial_t g_t = -\mathcal{L} g_t$ (équation Cole–Hopf conjuguée à la chaleur sur $q_t$). Comme $\mathcal{L}$ est invariant par addition d'une constante en $x$, $\mathcal{L} g_t = \mathcal{L} f_t$ et $\partial_t g_t = \dot\theta_t^\top \varphi + c(t)$. On retrouve directement (6). Voir wiki/cole-hopf.md et von-Neumann (responses/von-neumann.md §1).

4. Implication $(\Leftarrow)$ : (6) $\Rightarrow$ stabilité régulière

4.1. Théorème d'unicité de la chaleur (Tychonoff / Widder)

On rappelle (cf. wiki/tychonoff-uniqueness.md) :

Théorème 4.1 (Tychonoff 1935, Evans §2.3). Soit $u \in C^{1,2}((0, T) \times \mathbb{R}^d) \cap C([0, T] \times \mathbb{R}^d)$ solution de $\partial_t u = \tfrac12 \Delta u$ avec $u(0, \cdot) = u_0$. Si pour quelques $C, a > 0$ on a $|u(t, x)| \le C\, e^{a\|x\|^2}$ pour tout $(t, x) \in [0, T] \times \mathbb{R}^d$, alors $u$ est unique dans cette classe sur $[0, T_0] \times \mathbb{R}^d$ avec $T_0 := \min(T, 1/(2a))$, et donnée par la convolution avec le noyau gaussien : $u(t, x) = (u_0 * \gamma_{\sqrt{2t}})(x)$.

Corollaire 4.2 (Widder 1944). Si $u \ge 0$ sur $[0, T] \times \mathbb{R}^d$, l'unicité est sans restriction de croissance.

4.2. Lemme Cole–Hopf (signe propre)

Lemme 4.2 (Cole–Hopf normalisé). Soit $q \in C^{1,2}((0, T) \times \mathbb{R}^d)$ avec $q > 0$ partout. Pose $g := -\log q$. Alors \[ \partial_t q \;=\; \tfrac12 \Delta q \quad \iff \quad \partial_t g \;=\; -\mathcal{L} g \;=\; \tfrac12 \Delta g - \tfrac12 \|\nabla g\|^2. \tag{CH} \]

Preuve. $\partial_t q = -q\,\partial_t g$ ; $\nabla q = -q\,\nabla g$ ; $\Delta q = q(\|\nabla g\|^2 - \Delta g)$. Substituer dans $\partial_t q - \tfrac12 \Delta q = 0$ et diviser par $q > 0$ : $-\partial_t g = \tfrac12 \|\nabla g\|^2 - \tfrac12 \Delta g = \mathcal{L} g$, i.e. $\partial_t g = -\mathcal{L} g$. $\blacksquare$

4.3. Réciproque

Théorème 4.3 ($\Leftarrow$). Supposons (H0) et la minimalité (H2). Soit $\theta \in \mathrm{int}(\Theta)$ et $(\{\theta_t\}_{t \ge 0}, \{c(t)\}_{t \ge 0})$ un chemin admissible pour (6) (Définition 2.4), avec $\theta_t \in \mathrm{int}(\Theta)$ pour tout $t$ (donc $Z_{\theta_t} < \infty$).

Alors $p_{\theta_t} = p_\theta * \gamma_{\sqrt{2t}}$ pour tout $t \ge 0$, et la famille $\{p_\theta\}$ est régulièrement stable au point $\theta$.

Preuve.

Étape 1 (densité candidate). Posons \[ q_t(x) \;:=\; p_{\theta_t}(x) \;=\; Z_{\theta_t}^{-1}\, e^{-\theta_t^\top \varphi(x)}, \qquad g_t(x) \;:=\; -\log q_t(x) \;=\; \theta_t^\top \varphi(x) + \log Z_{\theta_t}. \] Alors $q_t > 0$ et $g_t \in C^{1,2}((0, \infty) \times \mathbb{R}^d)$, continue en $t = 0$, par (H0) + régularité $C^1$ du chemin (supposée dans la Définition 2.4).

Étape 2 ($g_t$ résout Cole–Hopf). Calculons : \[ \partial_t g_t \;=\; \dot\theta_t^\top \varphi(x) + c(t), \qquad \mathcal{L} g_t \;=\; \mathcal{L}(\theta_t^\top \varphi)(x) \;=\; \tfrac12\|(\nabla\varphi)\theta_t\|^2 - \tfrac12 \theta_t^\top \Delta\varphi, \] la seconde égalité utilisant que $\mathcal{L}$ est invariant par addition d'une constante en $x$ (le $\log Z_{\theta_t}$ disparaît). L'équation (6) est donc exactement équivalente à \[ \partial_t g_t \;=\; -\mathcal{L} g_t. \tag{4.1} \]

Étape 3 ($q_t$ résout la chaleur). Par le Lemme 4.2 appliqué à $q_t = e^{-g_t}$, on déduit de (4.1) que \[ \partial_t q_t \;=\; \tfrac12 \Delta q_t \qquad \text{sur } (0, \infty) \times \mathbb{R}^d, \tag{4.2} \] au sens classique. La donnée initiale est $q_0 = p_\theta$.

Étape 4 (unicité : Widder). Par construction $q_t(x) = p_{\theta_t}(x) > 0$ pour tout $(t, x) \in [0, T] \times \mathbb{R}^d$, et $q_t(\cdot)$ est intégrable (densité de probabilité), donc bornée en norme $L^1$ uniformément en $t$. Par le Corollaire 4.2 de Widder 1944, l'unique solution positive de la chaleur à donnée initiale $p_\theta$ est la convolution avec le noyau gaussien : \[ q_t(x) \;=\; (p_\theta * \gamma_{\sqrt{2t}})(x) \qquad \forall t \ge 0,\; \forall x \in \mathbb{R}^d. \tag{4.3} \]

Étape 5 (conclusion). (4.3) affirme exactement que $p_{\theta_t} = p_\theta * \gamma_{\sqrt{2t}}$, i.e. que $\theta_t$ réalise la paramétrisation voulue au temps $t$ (au sens de la Définition 2.1, avec $\sigma = \sqrt{2t}$). Par minimalité (H2), ce $\theta_t$ est unique ; par hypothèse il est $C^1$ en $t$, donc la famille est régulièrement stable au point $\theta$. $\blacksquare$

Remarque 4.4 (rôle effectif de (H4)). Dans la preuve ci-dessus, on n'a pas utilisé la sous-gaussianité (H4) : la positivité stricte $q_t > 0$ (intrinsèque à toute densité exponentielle) a suffi, grâce à Widder 1944. Tychonoff 1935 redevient nécessaire dans deux situations :

Cas non-densitaire — si l'on travaille avec $u_t := e^{-f_t} = Z_{\theta_t}\, q_t$ (non normalisé) et que l'on souhaite y appliquer directement le Lemme 4.2, on obtient $\partial_t u_t \ne \tfrac12 \Delta u_t$ en général (le $c(t)$ n'est pas absorbé). On peut néanmoins définir $\tilde u_t := Z_\theta^{-1} Z_{\theta_t}\, q_t$ qui résout la chaleur, mais $\tilde u_t > 0$ et intégrable — Widder s'applique encore.
Formes faibles / distributions — si $q_t$ perd sa stricte positivité à la limite ($t \to \infty$ ou extension à des mesures), Widder ne s'applique plus. On retombe sur (H4) + Tychonoff.

Dans le cadre de la Définition 2.3 (chemin à valeurs dans $\mathrm{int}(\Theta)$ avec $Z_{\theta_t} < \infty$), (H4) est donc redondant ; on le retient dans la Définition 2.3 par prudence et parce qu'il est la formulation naturelle avant de remarquer le raccourci Widder. C'est exactement le sens de la remarque de Feynman (responses/feynman.md §Q3, saut n°2) : l'hypothèse est structurellement présente dans toute preuve générale, mais peut être contournée dans le cas positif. Dans le cas polynomial quadratique (Q2), elle est automatiquement vraie : $f_t$ quadratique implique $p_{\theta_t}$ gaussienne, donc trivialement sous-gaussienne uniforme.

5. Nécessité de chaque hypothèse

5.1. Minimalité (H2) — sans elle, $\dot\theta_t$ sous-déterminé

Supposons que $\{\varphi_1, \ldots, \varphi_r, 1\}$ soit linéairement dépendante. Concrètement, supposons une relation $\sum_{i=1}^r \lambda_i\, \varphi_i(x) + \lambda_0 = 0$ avec $(\lambda_0, \ldots, \lambda_r) \ne 0$. Alors pour tout $\mu \in \mathbb{R}$, $\theta^\top \varphi = (\theta + \mu\lambda)^\top \varphi - \mu\lambda_0$ (où $\lambda = (\lambda_1, \ldots, \lambda_r)$), donc $p_\theta = p_{\theta + \mu\lambda}$ à normalisation près.

L'équation (6) se projette sur $\{\varphi_i\} \cup \{1\}$ : l'identité membre à membre donne un système d'équations sur $\dot\theta_t$ et $c(t)$, mais la direction $\lambda$ est un noyau libre — on peut ajouter à $\dot\theta_t$ n'importe quel scalaire $\mu \cdot \lambda$ sans changer l'identité. Le chemin $\theta_t$ n'est pas unique.

Exemple trivial. Prenons $d = 1$, $\varphi(x) = (x, 2x)$. Alors $\varphi_1 - \tfrac12\varphi_2 \equiv 0$ : famille non minimale. Pour tout $\theta = (\theta_1, \theta_2)$, $\theta^\top \varphi = (\theta_1 + 2\theta_2) x$, donc $p_\theta$ dépend seulement de $\theta_1 + 2\theta_2$. La convolution par $\gamma_\sigma$ donne $(p_\theta * \gamma_\sigma)(x) = Z^{-1} \cdot e^{-\tilde\alpha x}$ avec $\tilde\alpha = \theta_1 + 2\theta_2$ (en fait simple translation gaussienne). Le « $\tilde\theta$ » n'est déterminé que modulo la direction $\lambda = (1, -\tfrac12)$. L'EDP (6) a donc une famille de solutions à un paramètre, aucune n'étant canonique.

Conclusion. Sans (H2), la réciproque $(\Leftarrow)$ se brise au niveau de l'identification de $\theta_t$. L'EDP peut être satisfaite par plusieurs chemins, aucun n'étant « le bon ». C'est le saut caché n°3 de Feynman.

5.2. Régularité du chemin (H3) — sans elle, (6) vide de sens

Q1 ponctuelle (Définition 2.1) produit une application $\sigma \mapsto \tilde\theta(\sigma)$ qui est a priori seulement pointwise bien définie. Aucune régularité en $\sigma$ n'est garantie par la Définition 2.1.

Contre-exemple artificiel (non physique). Imaginons $\varphi$ tel que Q1 ponctuelle est vraie, et que l'application $\tilde\theta(\sigma)$ soit continue mais non dérivable partout : par exemple, $\tilde\theta(\sigma) = \theta_0(\sigma) + \psi(\sigma)$ où $\theta_0$ est lisse et $\psi$ est une fonction continue nulle-part dérivable de type Weierstrass modulée pour respecter (4). Alors $\dot\theta_t$ n'existe pas — l'identité (6) est vide de sens.

Dans la pratique, on montre (H3) par théorème des fonctions implicites : la carte $\theta \mapsto \mathrm{moments}(p_\theta * \gamma_\sigma)$ est lisse, sa jacobienne est la matrice de Fisher de la famille convoluée, qui est définie positive sous (H2). Donc $\tilde\theta(\sigma)$ est lisse en $\sigma$.

Conclusion. (H3) est conséquence de (H1) + (H2) + une hypothèse d'intégrabilité adéquate (intérieur de $\Theta$, moments finis d'ordre 2 des $\varphi_i$). Elle n'est pas automatique en partant de la seule Définition 2.1. C'est le saut caché n°1 de Feynman.

5.3. Sous-gaussianité uniforme (H4) — sans elle, Tychonoff casse

L'équation de la chaleur n'a pas unicité sans contrôle de croissance : le contre-exemple de Tychonoff (1935) donne une solution non triviale à donnée initiale nulle dont la croissance viole $e^{a\|x\|^2}$ (cf. wiki/tychonoff-uniqueness.md, §iv).

Si on n'impose que (H0), (H1), (H2) et (H3) (pas (H4)), et qu'on cherche à déduire la stabilité à partir de (6), l'argument Cole–Hopf produit bien $q_t = e^{-g_t}$ solution classique de la chaleur. Mais rien n'exclut a priori que $q_t$ coïncide sur $(0, T) \times \mathbb{R}^d$ avec $q_0 * \gamma_{\sqrt{2t}}$.

Cas densitaire. En réalité, dès que $q_t = p_{\theta_t}$ est une densité (positive, intégrable), on applique Widder 1944 qui donne l'unicité sans (H4). Donc dans le cas « physiquement raisonnable », (H4) est redondant — cf. Remarque 4.4.

Cas non-densitaire. Si, au contraire, on cherche à étendre le résultat à des « densités » non normalisées ($e^{-f_t}$ avec $Z_{\theta_t} = \infty$), la positivité ne suffit plus à contrôler la croissance. (H4) devient alors obligatoire.

Conclusion. (H4) est nécessaire dans l'énoncé général (cas non-densitaire, distributions, formes faibles) ; redondant dans le cas densitaire strict. On le retient dans la Définition 2.3 par prudence — c'est le saut caché n°2 de Feynman, et il est important qu'il soit explicité.

5.4. $C^2$-régularité de $\varphi$ (H0) — minimum structurel

Sans (H0), l'expression $\mathcal{L} f_t(x) = \tfrac12 \|\nabla f_t\|^2 - \tfrac12 \Delta f_t$ n'a pas de sens ponctuel. On peut relaxer à des $\varphi$ $C^2$ presque partout avec $\mathcal{L} f_t$ comme distribution, mais cela dépasse le cadre de la présente note. Voir Bakry, Gentil, Ledoux (2014), ch. 1 §1.11, pour l'extension faible via les algèbres diffusives.

6. Théorème final

Synthèse des §3 et §4 :

Théorème 6.1 (équivalence Q1c ⇔ Q3). Soit $\varphi : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^r$ vérifiant (H0) et (H2), et soit $\theta \in \mathrm{int}(\Theta)$. Les conditions suivantes sont équivalentes.

(a) $\{p_\theta\}$ est régulièrement stable au point $\theta$ (Définition 2.3), ou encore : il existe $\sigma \mapsto \tilde\theta(\sigma)$ de classe $C^1$ sur $(0, \infty)$, de limite $\theta$ en $\sigma \to 0^+$, avec $p_\theta * \gamma_\sigma \propto e^{-\tilde\theta(\sigma)^\top \varphi}$, et avec sous-gaussianité uniforme du chemin $p_{\tilde\theta(\sigma)}$ sur tout compact $\sigma \in [0, \Sigma]$.

(b) Il existe $(\theta, \{\theta_t\}, \{c(t)\})$ chemin admissible pour (6) (Définition 2.4), i.e. $t \mapsto \theta_t$ de classe $C^1$ sur $[0, +\infty)$ à valeurs dans $\mathrm{int}(\Theta)$, avec $\theta_0 = \theta$, et \[ \dot\theta_t^\top \varphi(x) \;+\; c(t) \;=\; -\tfrac12 \|(\nabla\varphi(x))\, \theta_t\|^2 \;+\; \tfrac12\, \theta_t^\top \Delta\varphi(x), \qquad \forall x \in \mathbb{R}^d,\; \forall t > 0, \] où $c(t) = \tfrac{d}{dt}\log Z_{\theta_t}$.

Preuve. (a) $\Rightarrow$ (b) est le Théorème 3.1 (§3). (b) $\Rightarrow$ (a) est le Théorème 4.3 (§4), en notant que la sous-gaussianité (H4) est, dans le cas densitaire, automatique via Widder 1944 (Remarque 4.4). $\blacksquare$

Corollaire 6.2 (clarification de Q3). L'énoncé de la Question 3 du PDF d'Etienne — « stabilité $\Leftrightarrow$ chemin dérivable vérifiant (6) » — est vrai sous la lecture « stabilité régulière ». L'équivalence avec la seule Q1 ponctuelle (Définition 2.1) demande en plus la minimalité (H2) et la régularité $C^1$ (H3) ; ces hypothèses sont des hypothèses à formuler explicitement, non des conséquences.

7. Lecture synthétique (Feynman)

En une phrase : « Le chemin $\theta_t$ doit faire en sorte que la dérive temporelle de la log-densité compense exactement la part non-linéaire du laplacien de la log-densité — et cette identité est fidèle à la stabilité exponentielle si l'on retient la minimalité de $\varphi$, la régularité $C^1$ du chemin, et l'unicité de la chaleur (triviale dans le cas densitaire positif). »

Trois propriétés, trois auteurs :

Minimalité → Brown (1986), Fundamentals of Statistical Exponential Families, §1.
Régularité $C^1$ → théorème des fonctions implicites sur la jacobienne de Fisher.
Unicité chaleur → Widder (1944) dans le cas positif ; Tychonoff (1935) dans le cas général.

8. Ouverture — vers Q1a

Le Théorème 6.1 réduit Q3 à la chasse à la stabilité régulière — c'est-à-dire à la détermination des $\varphi$ pour lesquelles (a) se produit. Cette chasse est l'objet de Q1, décomposé dans la synthèse delib-20260416-102e en :

Q1a — fermeture algébrique, Proposition $(\dagger)$ : $G_{ij} := \langle \nabla\varphi_i, \nabla\varphi_j \rangle \in \mathcal{A}$ et $H_i := \Delta\varphi_i \in \mathcal{A}$, uniformément en $x$. task-20260416-324c.
Q1b — intégrabilité, bord de $\Theta^\star$, contre-exemples ($\varphi = x^4$ etc.).
Q1c — régularité, minimalité, unicité : le présent document.

La pièce manquante dans la chaîne $(\Leftarrow)$ — à savoir, comment construire $\theta_t$ à partir d'une $\varphi$ vérifiant $(\dagger)$ — est l'objet de Q1a. Le présent document suppose qu'un tel $\theta_t$ existe et prouve qu'il coïncide alors avec la convolution.

9. Historique et crédits

Hopf (1950), Cole (1951) — transformation $u = e^{-f}$.
Tychonoff (1935) — contre-exemple de non-unicité pour la chaleur.
Widder (1944) — unicité sous positivité.
Brown (1986) — minimalité et identifiabilité des familles exponentielles.
Bakry, Gentil, Ledoux (2014) — formalisme $(\Gamma, L)$, BGL.
Feynman (responses/feynman.md) — diagnostic des trois sauts cachés (2026-04-17).
von Neumann (responses/von-neumann.md) — formulation Cole–Hopf et $(\ast)$ (2026-04-17).
Etienne (problem.pdf) — énoncé original (2026-04-17).