Tâche task-20260416-862a, molécule parente
delib-20260416-102e (synthèse : §I3). Référence
canonique : Bakry, Gentil, Ledoux (2014), Analysis and Geometry of
Markov Diffusion Operators, ch. 1–3 (ci-après
BGL). Géométrie de l'information : Amari, Nagaoka
(2000), Methods of Information Geometry, AMS (ci-après
AN).
Le problème initial (docs/problem.md) est posé sur \((\mathbb{R}^d, \Delta, \gamma_\sigma)\) : stabilité de la famille exponentielle \(\{p_\theta \propto e^{-\theta^\top\varphi}\}\) sous la convolution gaussienne, avec opérateur de Cole–Hopf \(\mathcal{L} f = \tfrac12 \|\nabla f\|^2 - \tfrac12 \Delta f\).
Wheeler observe (cf.
docs/lore/delib-20260416-102e/responses/wheeler.md, §3) que
l'isotropie et le choix de \(\Delta\)
sont cosmétiques : le vrai problème est une condition
de compatibilité entre \(\varphi\) et
un générateur de diffusion \(L\) — sur une variété
riemannienne quelconque. La bonne structure n'est pas \((\mathbb{R}^d, \Delta)\) mais \((M, g, L, \Gamma)\) : variété, métrique,
générateur, carré du champ.
L'objet de cette note est de réécrire proprement Q1 sous cette forme invariante, puis de donner deux exemples non triviaux (euclidien et Ornstein–Uhlenbeck) pour illustrer la généralité. On ne cherche pas à classifier les \((\varphi, M, g, L)\) stables — cette question ouverte fait l'objet des molécules Q1a, Q1-exotique, et Q1-sphérique à venir.
Soit \((M, g)\) une variété riemannienne lisse, de dimension \(d\), orientable, munie de sa mesure riemannienne \(dV_g\). Soit \(L\) un opérateur de diffusion au sens de BGL, ch. 1, §1.11, c'est-à-dire un opérateur linéaire du second ordre défini sur une algèbre \(\mathcal{C}\) de fonctions lisses suffisamment régulière, satisfaisant :
Le cas typique : \(L = \tfrac12 \Delta_g + Z\), somme du demi-laplacien de Beltrami et d'un champ de vecteurs lisse \(Z\) (la dérive).
Le carré du champ associé à \(L\) est l'opérateur bilinéaire symétrique (BGL §1.4, Definition 1.4.2)
\[ \Gamma(f, h) \;:=\; \tfrac12\Bigl(L(fh) \;-\; f\, Lh \;-\; h\, Lf\Bigr), \qquad f, h \in \mathcal{C}. \tag{1.2} \]
Pour \(L = \tfrac12 \Delta_g + Z\) avec \(Z\) champ de vecteurs (opérateur d'ordre 1, donc sans contribution quadratique), un calcul direct donne
\[ \Gamma(f, h) \;=\; \tfrac12\, g(\nabla f, \nabla h) \;=\; \tfrac12\, \langle \nabla f, \nabla h \rangle_g. \tag{1.3} \]
Remarque. Le facteur \(\tfrac12\) vient de la convention \(L = \tfrac12 \Delta_g + Z\) : avec \(L = \Delta_g + Z\), on a \(\Gamma(f,h) = g(\nabla f, \nabla h)\). On fixe ici la convention « demi-laplacien » pour rester cohérent avec le problème initial.
Le semigroupe \((P_t)_{t \ge 0} = (e^{tL})_{t \ge 0}\) agit sur les observables ; son dual \((P_t^*)\) (ou Fokker–Planck) agit sur les densités via
\[ \langle P_t f, \mu \rangle \;=\; \langle f, P_t^* \mu \rangle, \]
le crochet étant l'intégration contre \(dV_g\).
Lorsque \(L\) admet une mesure invariante \(d\mu_\infty = \rho_\infty\, dV_g\) et que \(L\) est réversible (symétrique dans \(L^2(\mu_\infty)\), BGL §1.6), la question de stabilité se pose naturellement pour des densités exprimées par rapport à \(\mu_\infty\) : si \(p_\theta = q_\theta\, d\mu_\infty\) avec \(q_\theta \propto e^{-\theta^\top \varphi}\), alors \(P_t q_\theta\) reste une observable, et la condition de stabilité s'écrit sans avoir à passer à l'adjoint \(L^*\).
Convention de référence. Dans tout ce qui suit, « densité » signifie densité par rapport à la mesure invariante \(\mu_\infty\) de \(L\) (si elle existe). Cela absorbe la dérive dans le choix du point base et rend la formulation symétrique.
Lemme (Cole–Hopf invariant). Soit \(u \in C^{1,2}(\mathbb{R}_+ \times M)\) avec \(u > 0\), solution de \(\partial_t u = L u\). Posons \(f := -\log u\). Alors
\[ \boxed{\;\partial_t f \;=\; L f \;-\; \Gamma(f, f)\;} \tag{2.1} \]
où \(\Gamma\) est le carré du champ de \(L\) (1.2).
Preuve. Appliquer la règle de chaîne (1.1) à \(F(y) = e^{-y}\) et \(f_1 = f\) : \(\partial F = -e^{-y}\), \(\partial^2 F = e^{-y}\). Donc \[ L u \;=\; L(e^{-f}) \;=\; -e^{-f}\, L f \;+\; e^{-f}\, \Gamma(f, f) \;=\; u\,\bigl(\Gamma(f,f) - Lf\bigr). \] Par ailleurs \(\partial_t u = -u\, \partial_t f\). L'équation \(\partial_t u = L u\) donne donc \(-\partial_t f = \Gamma(f,f) - Lf\), d'où (2.1). \(\square\)
Vérification dans le cas euclidien. \(M = \mathbb{R}^d\), \(L = \tfrac12 \Delta\), \(\Gamma(f,f) = \tfrac12 \|\nabla f\|^2\). On
retrouve \(\partial_t f = \tfrac12 \Delta f -
\tfrac12 \|\nabla f\|^2\) — exactement l'équation de
Hamilton–Jacobi visqueuse dérivée dans docs/problem.md,
équation (6).
Orientation des signes. La relation (2.1) s'écrit, de façon équivalente, via l'opérateur de Cole–Hopf \(\mathcal{L}_{\mathrm{CH}} f := \Gamma(f, f) - L f\) : \(\partial_t f = -\mathcal{L}_{\mathrm{CH}} f\). On reste avec (2.1) comme forme canonique.
Soit \(\varphi = (\varphi_1, \ldots, \varphi_r) : M \to \mathbb{R}^r\) une statistique mesurable avec \(\varphi_i \in \mathcal{C}\). On définit, quand la normalisation existe,
\[ q_\theta \;=\; Z_\theta^{-1}\, e^{-\theta^\top \varphi}, \qquad Z_\theta \;=\; \int_M e^{-\theta^\top \varphi}\, d\mu_\infty \;<\; \infty, \tag{3.1} \]
de sorte que \(\{q_\theta\}_{\theta \in \Theta}\) est une famille exponentielle paramétrée sur \(\Theta = \{\theta : Z_\theta < \infty\} \subseteq \mathbb{R}^r\) (une e-famille au sens de AN §3.7).
On note
\[ \mathcal{A} \;:=\; \mathrm{Span}_\mathbb{R}\{\varphi_1, \ldots, \varphi_r, \mathbf{1}\} \;\subset\; \mathcal{C}, \tag{3.2} \]
le sous-espace affine (en fait linéaire, en ajoutant la constante 1) engendré par les coordonnées de \(\varphi\).
Proposition (compatibilité Bakry–Émery, forme invariante). La famille \(\{q_\theta\}_{\theta \in \Theta^\circ}\) (densités par rapport à \(\mu_\infty\)) est stable par le semigroupe \((P_t)\), au sens où pour tout \(\theta \in \Theta^\circ\) et tout \(t \ge 0\) il existe \(\tilde\theta(t, \theta) \in \Theta\) avec \(P_t q_\theta \propto q_{\tilde\theta(t,\theta)}\), seulement si la condition de fermeture
\[ \boxed{ \;\Gamma(\varphi_i, \varphi_j) \;\in\; \mathcal{A} \quad\text{et}\quad L\varphi_i \;\in\; \mathcal{A}, \qquad \forall\, i, j \in \{1, \ldots, r\}.\; } \tag{$\dagger$} \]
est satisfaite. Réciproquement, si \((\dagger)\) est vérifiée, si les \(\{\varphi_i, \mathbf{1}\}\) sont linéairement indépendants, et si la chaleur \(\partial_t u = L u\) admet unicité dans la classe des solutions tempérées sur-gaussiennement bornées (hypothèse de Tychonoff ; BGL §3.1, Theorem 3.1.1), alors la famille est régulièrement stable, et la reparamétrisation \(t \mapsto \theta_t\) est déterminée par un système différentiel fermé sur \(\Theta\) (cf. §3.4).
Commentaire. La condition \((\dagger)\) dit que \(\mathcal{A}\) est un sous-espace stable sous \(L\) et sous \(\Gamma\) — une « sous-algèbre de diffusion de dimension finie » au sens de BGL ch. 1. C'est la version invariante et locale de la Remarque 2 du PDF d'Etienne : \(\mathcal{A}\) doit être un espace de dimension finie stable sous l'opérateur de Cole–Hopf \(\mathcal{L}_{\mathrm{CH}} = \Gamma(\cdot, \cdot) - L\).
Écrivons \(f_t := -\log q_{\theta_t} = \theta_t^\top \varphi + \log Z_{\theta_t}\) (en considérant que le log apparaît comme constante en \(x\)). Cole–Hopf (2.1) donne :
\[ \underbrace{\dot\theta_t^\top \varphi \;+\; \tfrac{d}{dt}\log Z_{\theta_t}}_{\partial_t f_t} \;=\; \underbrace{\theta_t^\top L\varphi}_{L f_t} \;-\; \underbrace{\theta_t^\top \Gamma(\varphi, \varphi^\top)\, \theta_t}_{\Gamma(f_t, f_t)}, \tag{3.3} \]
en convenant que \(\Gamma(\varphi, \varphi^\top)(x) = \bigl(\Gamma(\varphi_i, \varphi_j)(x)\bigr)_{i,j}\) est une matrice symétrique \(r \times r\) dépendant de \(x\).
Pour que (3.3) ait un sens identitairement en \(x \in M\) et uniformément en \(\theta \in \Theta^\circ\), il faut que le membre droit — combinaison affine des fonctions \(\{L\varphi_i\}_i\) et \(\{\Gamma(\varphi_i, \varphi_j)\}_{i,j}\) — appartienne à \(\mathcal{A}\). Par indépendance des \(\theta_t\), cela force \(L\varphi_i \in \mathcal{A}\) et \(\Gamma(\varphi_i, \varphi_j) \in \mathcal{A}\) séparément. C'est \((\dagger)\).
Supposons \((\dagger)\). Écrivons, avec \(\mathbf{1}\) adjointe si besoin :
\[ L\varphi_i \;=\; \sum_k \alpha_{i k}\, \varphi_k \;+\; \alpha_{i, 0}, \qquad \Gamma(\varphi_i, \varphi_j) \;=\; \sum_k \gamma_{i j k}\, \varphi_k \;+\; \gamma_{i j, 0}, \tag{3.4} \]
avec \((\alpha_{ik}, \alpha_{i0}, \gamma_{ijk}, \gamma_{ij,0})\) constantes réelles uniques (par minimalité). En substituant dans (3.3) et en identifiant les coefficients de \(\varphi_k\) (pour \(k = 1, \ldots, r\)) et le terme constant, on obtient un système autonome sur \((\theta_t, \log Z_{\theta_t})\) :
\[ \dot\theta_k \;=\; \sum_i \alpha_{ik}\, \theta_i \;-\; \sum_{i,j} \theta_i \theta_j\, \gamma_{i j k}, \qquad k = 1, \ldots, r, \tag{3.5a} \]
\[ \tfrac{d}{dt}\log Z_{\theta_t} \;=\; \sum_i \alpha_{i, 0}\, \theta_i \;-\; \sum_{i,j} \theta_i \theta_j\, \gamma_{i j, 0}. \tag{3.5b} \]
Le flot \(\theta \mapsto \theta_t\) est quadratique en \(\theta\) (Riccati au sens multivarié) : la non-linéarité de \(\Gamma\) produit exactement la non-linéarité caractéristique de Hamilton–Jacobi.
La condition \((\dagger)\) est une identité ponctuelle : \(\Gamma(\varphi_i, \varphi_j)(x) \in \mathcal{A}\) pour tout \(x\). C'est strictement plus forte que l'identité intégrée
\[ \int \Gamma(\varphi_i, \varphi_j)\, q_\theta\, d\mu_\infty \;=\; \text{fonction linéaire des moments de } \varphi, \]
qui est l'identité de Bruijn/Stam-type (cf. Shannon,
docs/lore/.../responses/shannon.md, I1). C'est cette
rigidité ponctuelle qui force la structure algébrique — thème central de
la décomposition Q1a/Q1b/Q1c.
Soit \(M = \mathbb{R}^d\), \(g = \mathrm{Id}\), \(L = \tfrac12 \Delta\), $\mu_\infty = $ Lebesgue (mesure invariante non probabiliste mais \(\sigma\)-finie). Alors \(\Gamma(f, h) = \tfrac12 \langle \nabla f, \nabla h \rangle\).
La condition \((\dagger)\) devient :
\[ \tfrac12 \langle \nabla \varphi_i, \nabla \varphi_j \rangle \in \mathcal{A} \quad\text{et}\quad \tfrac12 \Delta \varphi_i \in \mathcal{A}, \qquad \forall i, j. \]
Modulo constantes multiplicatives \(\tfrac12\), on retrouve exactement la
condition \((\dagger)\) de von-Neumann
(cf. docs/lore/.../responses/von-neumann.md, §2) :
\[ G_{ij} := \langle\nabla\varphi_i, \nabla\varphi_j\rangle \in \mathcal{A}, \qquad H_i := \Delta\varphi_i \in \mathcal{A}. \]
La borne de degré dans le cas polynomial (\(\deg\varphi_i \le 2\)) s'en déduit immédiatement : si \(\deg\varphi_i = D\), alors \(\deg G_{ij} = 2(D-1)\) et il faut \(2(D-1) \le D\), donc \(D \le 2\). Le système (3.5a) devient le flot Riccati \(\dot M = -M^2\) (à des conventions près) dérivé dans Q2.
Conclusion. Le cadre invariant \((M, g, L) = (\mathbb{R}^d, \mathrm{Id}, \tfrac12\Delta)\) redonne exactement la question initiale. L'abstraction n'a rien perdu.
Soit \(M = \mathbb{R}^d\), \(g = \mathrm{Id}\), et
\[ L \;=\; \tfrac12 \Delta \;-\; x \cdot \nabla. \tag{5.1} \]
C'est le générateur du processus d'Ornstein–Uhlenbeck \(dX_t = -X_t\, dt + dB_t\), de mesure invariante la gaussienne standard \(\mu_\infty = \gamma_1\) (BGL §2.7.1, Example 2.7.1). On travaille désormais avec des densités par rapport à \(\gamma_1\) :
\[ q_\theta \;=\; Z_\theta^{-1}\, e^{-\theta^\top \varphi}, \qquad Z_\theta \;=\; \int_{\mathbb{R}^d} e^{-\theta^\top \varphi}\, d\gamma_1. \]
(Le changement de référence Lebesgue \(\to\) \(\gamma_1\) absorbe la dérive ; c'est le point crucial rendu possible par la réversibilité de \(L\) par rapport à \(\gamma_1\).)
La dérive \(-x \cdot \nabla\) étant d'ordre un, elle ne contribue pas à \(\Gamma\) (par (1.2), le terme \(L(fh) - fLh - hLf\) annule toute composante d'ordre \(\le 1\)). Donc
\[ \Gamma(f, h) \;=\; \tfrac12 \langle \nabla f, \nabla h \rangle, \tag{5.2} \]
identique au cas du demi-laplacien. La différence avec Q1 ne vient pas de \(\Gamma\) mais de la partie \(L\varphi\).
Soit \(\varphi_i(x) = x^\top A_i x + b_i^\top x\) (\(A_i = A_i^\top \in \mathbb{R}^{d \times d}\), \(b_i \in \mathbb{R}^d\)). Alors \(\nabla \varphi_i = 2 A_i x + b_i\), \(\Delta \varphi_i = 2\, \mathrm{tr}(A_i)\).
Calcul de \(L\varphi_i\) : \[ L\varphi_i \;=\; \tfrac12 \Delta \varphi_i - x \cdot \nabla \varphi_i \;=\; \mathrm{tr}(A_i) - x^\top (2 A_i) x - b_i^\top x \;=\; -2\, (x^\top A_i x) - b_i^\top x + \mathrm{tr}(A_i). \tag{5.3} \]
Donc si \(\varphi_i(x) = x^\top A_i x + b_i^\top x\), alors en réécrivant \(-2 x^\top A_i x = -2\varphi_i + 2 b_i^\top x\) :
\[ L\varphi_i \;=\; -2\, \varphi_i \;+\; 2\, b_i^\top x \;-\; b_i^\top x \;+\; \mathrm{tr}(A_i) \;=\; -2\, \varphi_i \;+\; b_i^\top x \;+\; \mathrm{tr}(A_i). \]
Lorsque la classe \(\mathcal{A}\) contient à la fois les formes quadratiques \(x^\top A_i x\), les formes linéaires \(b_i^\top x\) (comme coordonnées séparées), et les constantes, (5.3) montre \(L\varphi_i \in \mathcal{A}\). En particulier :
Ceci est la structure spectrale de Hermite du semigroupe OU (BGL §2.7.2) : les polynômes de Hermite multivariés sont les fonctions propres de \(L\), et les degrés 1 et 2 sont stables sous \(L\).
Calcul de \(\Gamma(\varphi_i, \varphi_j)\) : \[ \Gamma(\varphi_i, \varphi_j) \;=\; \tfrac12 (2 A_i x + b_i)^\top (2 A_j x + b_j) \;=\; 2\, x^\top (A_i A_j)^{\mathrm{sym}} x \;+\; (A_i b_j + A_j b_i)^\top x \;+\; \tfrac12 b_i^\top b_j, \tag{5.4} \]
où \((A_i A_j)^{\mathrm{sym}} := \tfrac12(A_i A_j + A_j A_i)\). C'est une forme quadratique + linéaire + constante, donc \(\in \mathcal{A}\) pourvu que \(\mathcal{A}\) contienne toutes les formes de la forme \(x^\top M x\) pour \(M\) dans l'algèbre de matrices engendrée par \(\{A_i\}_i\) sous le produit symétrisé, et toutes les formes linéaires \(v^\top x\) pour \(v\) dans le sous-espace engendré par \(\{b_i\}_i\) et \(\{A_i b_j\}_{i,j}\).
Cas maximal. Si \(\mathcal{A}\) est la classe complète des fonctions quadratiques-linéaires-constantes, \(\dim\mathcal{A} = \tfrac{d(d+1)}{2} + d + 1\), alors \((\dagger)\) est trivialement satisfaite. C'est le pendant OU du cas quadratique canonique de Q2 (analogue à Feynman I5 : on symétrise pour éviter la redondance \(d^2 \to d(d+1)/2\)).
Pour \(\varphi(x) = (x^\top A x, B x)\) (vectorisée avec \(\dim = \tfrac{d(d+1)}{2} + d\)) et paramètre dual \(\theta \mapsto (M, b)\) avec \(f(x) = \tfrac12 x^\top M x + b^\top x + \log Z\), (2.1) donne après calcul :
\[ L f - \Gamma(f,f) \;=\; -\tfrac12\, x^\top \bigl(M^2 + 2 M\bigr) x \;-\; b^\top (I + M)\, x \;+\; \tfrac12\bigl(\mathrm{tr}(M) - \|b\|^2\bigr). \tag{5.5} \]
Détail du calcul. \(\nabla f = Mx + b\), \(\Delta f = \mathrm{tr}(M)\). \(L f = \tfrac12 \mathrm{tr}(M) - x^\top Mx - b^\top x\) (utilisant (5.3)). \(\Gamma(f,f) = \tfrac12 \|Mx + b\|^2 = \tfrac12 x^\top M^2 x + b^\top M x + \tfrac12 \|b\|^2\). Soustraire donne (5.5). \(\square\)
Identifier avec \(\partial_t f = \tfrac12 x^\top \dot M x + \dot b^\top x + \tfrac{d}{dt}\log Z\) :
\[ \boxed{ \begin{aligned} \dot M &\;=\; -M^2 \;-\; 2 M, \\ \dot b &\;=\; -(I + M)\, b, \\ \tfrac{d}{dt} \log Z &\;=\; \tfrac12 \bigl(\mathrm{tr}(M) - \|b\|^2\bigr). \end{aligned} } \tag{5.6} \]
Comparaison avec Q2 (cas chaleur). Dans le cas euclidien chaleur (\(L = \tfrac12\Delta\), $\mu_\infty = $ Lebesgue), la récurrence dérivée par von-Neumann / Feynman est \(\dot M = -M^2\), \(\dot b = -M b\). Le terme supplémentaire \(-2M\) (resp. \(-b\)) en (5.6) est exactement la trace de la dérive \(-x \cdot \nabla\) dans \(L\). La classe stable est la même ; la reparamétrisation est modifiée par un terme linéaire en \(\theta\), comme annoncé par le briefing.
Point fixe. \(\dot M = 0 \iff M \in \{0, -2 I\}\) ; \(M = 0\) correspond à \(\gamma_1\) elle-même (famille réduite au point invariant). Lorsque \(M \succ 0\), \(M(M+2I) \succ 0\), donc \(\dot M \prec 0\) : le flot contracte vers \(0\) — expression de l'ergodicité du semigroupe OU (\(P_t q_\theta \to 1\) dans \(L^2(\gamma_1)\), cf. BGL §2.7.2).
Cohérence de la normalisation. Puisque \(P_t\) est markovien sur \(L^2(\gamma_1)\) (il préserve \(\int \cdot\, d\gamma_1\)), la condition \(\int q_{\theta_t}\, d\gamma_1 = 1\) force \(\log Z_{\theta_t} = \log \int e^{-\theta_t^\top\varphi}\,d\gamma_1\), qui dépend de \(\theta_t\) via la formule gaussienne \(\log Z = -\tfrac12 \log\det(M + I) + \tfrac12 b^\top(M+I)^{-1}b\). Par construction, la dérivée \(\frac{d}{dt}\log Z_{\theta_t}\) calculée via cette formule explicite coïncide avec (5.6c) le long des solutions de (5.6a)–(5.6b) — c'est une conséquence directe de l'équation de Cole–Hopf (2.1) et de l'identification des termes constants en \(x\) dans (3.3).
Soit \(M = \mathbb{S}^{d-1} \subset \mathbb{R}^d\), \(g\) la métrique induite, et \(L = \tfrac12 \Delta_{\mathbb{S}}\) le demi-laplacien sphérique. Alors \(\Gamma(f, h) = \tfrac12 \langle \nabla_{\mathbb{S}} f, \nabla_{\mathbb{S}} h \rangle\).
Les harmoniques sphériques \(Y_{\ell m}\) de degré \(\ell\) vérifient \(\Delta_{\mathbb{S}} Y_{\ell m} = -\ell(\ell + d - 2)\, Y_{\ell m}\), donc \(L Y_{\ell m} = -\tfrac12 \ell(\ell + d - 2)\, Y_{\ell m}\). Sur chaque espace propre \(H_\ell\), \(L\) est scalaire — donc \(L H_\ell \subset H_\ell\).
En revanche \(\Gamma(Y_{\ell}, Y_m)\) est, par décomposition de Clebsch–Gordan, une somme finie d'harmoniques de degrés \(\in \{|\ell - m|, |\ell - m| + 2, \ldots, \ell + m\}\) (produits de harmoniques). Pour que \((\dagger)\) soit vraie, il faut donc que \(\mathcal{A}\) soit un sous-espace gradué stable sous Clebsch–Gordan. Le plus petit tel \(\mathcal{A}\) contenant \(H_1\) est \(H_0 \oplus H_1 \oplus H_2\) (car \(H_1 \otimes H_1 \subset H_0 \oplus H_2\)).
Constat. La classe \(\varphi_i \in H_0 \oplus H_1 \oplus H_2\) (fonctions polynomiales sphériques de degré \(\le 2\)) est stable sous \((L, \Gamma)\) sur la sphère. C'est l'analogue sphérique direct du cas quadratique euclidien, cohérent avec la conjecture « degré \(\le 2\) » de Wheeler.
Nous ne poussons pas plus loin : la classification exhaustive des \(\mathcal{A}\) stables sur la sphère est un sous-problème à part entière (molécule Q1-sphérique potentielle).
Q1-exotique et Q1-sphérique.Cette note traite exclusivement Q1a dans sa version invariante : fermeture algébrique \((\dagger)\) sur \((M, g, L)\). Les aspects analytiques (intégrabilité) et de régularité (minimalité, chemin \(C^1\)) ne sont pas abordés ici.
Fin de docs/invariant-reformulation.md — Step 1/2 de
task-20260416-862a.