Circularité — entièreté en régime non-tempéré (Q1-exotique, voie de clôture totale)

Note annexée à q1-exotique-closure.md §3.1. Issue de la tentative de fermer le résidu (a′) — croissance surpolynomiale — par la dualité indicateur ↔︎ support de Fourier–Borel.

Symptôme

Le Théorème B clôt le cas tempéré (croissance \(\le\) polynomiale sur \(\mathbb{R}^d\)) par : spectre confiné à \(\{\|\xi\| \le R\}\) + \(\Gamma\) produit du contenu à \(2R\) ⇒ \(R = 0\) ⇒ polynôme. La généralisation naturelle au résidu (a′) voudrait remplacer le rayon spectral réel \(R\) par le diagramme indicateur complexe \(K_\varphi \subset \mathbb{C}^d\) (support de la transformée de Fourier–Borel de la fonction entière \(\varphi\)), et conclure de même par \(K_{\Gamma(\varphi,\varphi)} \subseteq K_\varphi + K_\varphi\).

Pour cela il faut d'abord savoir que \(\varphi\) est entière sur \(\mathbb{C}^d\) de type exponentiel (sinon le diagramme indicateur n'est pas compact et la tour \(\{2^n\zeta^\star\}\) ne donne pas de contradiction).

La boucle

1. Le Théorème A donne : \(\varphi\) réel-analytique (solution d'un \(P(\Delta)\varphi = 0\) elliptique).
2. On voudrait : \(\varphi\) se prolonge en une fonction entière de type exponentiel sur \(\mathbb{C}^d\).
3. En régime tempéré, (2) est gratuit (Paley–Wiener–Schwartz, Lemme B.1). Mais le résidu (a′) est précisément le cas non-tempéré (croissance surpolynomiale) — où Paley–Wiener–Schwartz ne s'applique pas.
4. Le principe fondamental d'Ehrenpreis–Palamodov représente toute solution de \(P(\Delta)\varphi = 0\) sur le convexe \(\mathbb{R}^d\) comme intégrale de solutions exponentielles \(e^{\zeta\cdot x}\) sur la variété caractéristique \(\{\zeta\cdot\zeta = \lambda_j\}\). Chacune est entière ; mais la convergence de la représentation vers une fonction entière en \(x\) sur tout \(\mathbb{C}^d\) (et non seulement réel-analytique sur \(\mathbb{R}^d\)) requiert un contrôle de croissance de la mesure de Palamodov — contrôle qui, pour une \(\varphi\) à croissance surpolynomiale arbitraire, n'est pas automatique.

La circularité douce : pour borner le diagramme indicateur (et donc la croissance), on veut l'entièreté ; pour l'entièreté via Ehrenpreis, on veut un contrôle de croissance. Les deux s'appellent mutuellement.

Analyse — pourquoi ce n'est pas une vraie impasse

Contrairement à la circularité Q1a (qui était une tautologie masquée), celle-ci est une dépendance technique, pas logique :

• Le contre-exemple à « réel-analytique ⇒ entière » est concret : \(1/(1+\|x\|^2)\) est réel-analytique sur \(\mathbb{R}^d\), non entière. Mais il est tempéré, donc déjà tué par le Théorème B. Le contre-exemple vit hors de (a′).
• Dans (a′) (surpolynomial), les solutions de \(P(\Delta)\varphi = 0\) qui ne sont pas entières devraient avoir une singularité complexe à distance finie ; or une telle singularité, propagée par l'équation elliptique à coefficients constants, est en tension avec la croissance globale — c'est exactement le contenu d'un théorème d'entièreté pour solutions globales d'opérateurs elliptiques à coefficients constants (vrai, mais la rédaction propre dépasse le présent livrable).

Contournement effectif (partiel, déjà en place)

Plutôt que forcer l'entièreté en général, le livrable §3 réduit (a′) par trois leviers indépendants qui n'ont pas besoin de l'entièreté :

1. Thm 2 (semigroupe d'exposants) : tue toute forme exp-polynomiale.
2. Prop 5 (classe de croissance) : tue « polynôme + correction surpolynomiale ».
3. Q1b (intégrabilité) : tue toute \(\varphi\) surpolynomiale non bornée inférieurement (la famille n'existe pas, \(Z_\theta = \infty\)).

Le résidu après ces trois leviers (oscillant, borné inférieurement, surpolynomial, non exp-polynomial) est sans candidat explicite connu.

Statut

Circularité technique, neutralisée pour l'usage courant :

• La clôture complète de (a′) par diagramme indicateur reste suspendue à un théorème d'entièreté en régime non-tempéré (à rédiger).
• Mais (a′) est par ailleurs réduit au vide pratique par Thm 2 + Prop 5 + Q1b.

Cette note sera close si l'un des deux se produit : (i) rédaction du théorème d'entièreté (solutions globales surpolynomiales d'elliptiques à coefficients constants ⇒ entières de type exponentiel), débloquant la voie indicateur ; ou (ii) preuve que (a′) est vide par un argument d'intégrabilité Q1b renforcé.